Стереометрия - геометрия и искусство

Перейти к контенту

Главное меню:

Стереометрия

Пространственные фигуры

Стереометрия -  раздел геометрии, изучающий положение, форму, размеры и свойства пространственных фигур.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.
Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

Плоскость.
Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Аксиомы стереометрии и их следствия
1.Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и эта плоскость единственна.
2.Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку.

3.Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то все точки этой прямой принадлежат плоскости.
4.Существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
5.Существует хотя бы одна плоскость.


Примечания.

1. Точки, прямые и плоскости можно рассматривать как три множества объектов любой природы и не требовать, чтобы прямые и плоскости были множествами точек.
2. В некоторых системах аксиом за основу принято понятие расстояния между двумя точками или аксиоматизируется разбиение пространства плоскостью.
3. Часто в качестве аксиомы принимают тот факт, что две различные пересекающиеся плоскости пересекаются по прямой. Однако это утверждение можно доказать, используя аксиомы 1 и 3.

Простейшие следствия из аксиом.
1. Для любой плоскости существует точка, не принадлежащая этой плоскости.
2.Через две различные точки можно провести прямую, и эта прямая единственна.
3.Через прямую и точку вне прямой можно провести плоскость, и эта плоскость единственна.
4.Через две различные пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и эта плоскость единственна.
5.Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.
6. Плоскость разбивает пространство на две части (два полупространства) такие; что отрезок, соединяющий две точки одного полупространства, не пересекается с плоскостью, а соединяющий точки разных - пересекается.


Как видно из аксиом и следствий из них, плоскость задается однозначно, если задан следующий набор элементов:
а) даны три точки, не лежащие на одной прямой;
б) дана прямая и не принадлежащая ей точка;
в) даны две пересекающиеся прямые.


Кроме этого, две параллельные прямые в пространстве однозначно задают плоскость.

Среди пространственных фигур выделяются многогранники — тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно рёбрами и вершинами многогранника.

Примерами многогранников являются:

  • куб — многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов

  • параллелепипед — многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов
  • прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, у которого грани— прямоугольники
  • призма — многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований
  • прямая призма — призма, боковыми гранями которой являются прямоугольники
  • правильная призма — прямая призма, основаниями которой являются  правильные многоугольники
  • пирамида — многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину
  • правильная пирамида — пирамида, в основании которой правильным многоугольник и все боковые рёбра которой равны.

Примерами пространственных фигур являются также знакомые вам: цилиндр, конус, шар

Две плоскости называются перпендикулярными, если они образуют прямые двугранные углы
см.
здесь


 
Назад к содержимому | Назад к главному меню