Параллельность - геометрия и искусство

Перейти к контенту

Главное меню:

Параллельность

Плоские фигуры > Параллельность и перпендикулярность

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых
.


греч. "пара" -  рядом, "аллелос" - идущий

Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов.
Накрест лежащие углы: 3 и
6; 4 и 5; односторонние углы: 4 и 6; 3 и 5; соответственные углы: 1 и 5; 4 и 8; 2 и 6; 3 и 7.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.


Три признака параллельности двух прямых (теоремы)
1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны
.


Теоремы, обратные теоремам о параллельности двух прямых
1.Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Следствие
. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.


Построение параллельных

Вопрос о количестве прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой, имеет давнюю и интересную историю. Среди аксиом в «Началах» Евклида пятый по счету постулат по своему содержанию совпадает с аксиомой параллельности: «Через точку, взятую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной этой прямой».

На протяжении двух тысячелетий после Евклида математики пытались доказать этот постулат, однако все их попытки заканчивались неудачей, рано или поздно в их рассуждениях обнаруживались ошибки. Лишь в 1826 году великий русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856), профессор Казанского университета, доказал, что этот постулат нельзя логически вывести из других постулатов (аксиом) Евклида, т. е. нельзя доказать. Поэтому или его можно взять в качестве аксиомы, или в качестве аксиомы может быть взято утверждение о существовании нескольких прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой. Положив в основу геометрии эту новую аксиому параллельности, Лобачевский создал совершенно новую, неевклидову геометрию, которая была названа геометрией Лобачевского. 

Идеи Лобачевского были настолько оригинальны и настолько противоречили так называемому здравому смыслу, что их не поняли даже крупные математики того времени. Несмотря на это, Лобачевский не отказался от своей теории. Он не только был убежден в логической непротиворечивости новой геометрии, но и твердо верил в ее применимость к исследованию реального физического пространства. С этой целью он проводил сложнейшие астрономические наблюдения и измерения, однако недостаточная точность измерительных приборов не позволила ему подтвердить свою гипотезу.


Признание геометрии Лобачевского пришло только после его смерти. Работы Лобачевского были переведены на многие языки и изучались математиками всего мира. В настоящее время геометрия Лобачевского является неотъемлемой частью современной математики и находит применение во многих областях человеческого знания, способствует более глубокому пониманию окружающего нас мира.


(И. Смирнова, В. Смирнов. Геометрия 7-9 - Мнемозина, 2012)

Узоры из параллельных и перепендикулярных

Гжельская кобальтовая сетка

Создание иллюзии третьего цвета

 
Назад к содержимому | Назад к главному меню