полуправильные - геометрия и искусство

Перейти к контенту

Главное меню:

полуправильные

Пространственные фигуры > Многогранники

Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, возможно, и с разным числом сторон, в каждой вершине которого сходится одинаковое число граней.

К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны.  К полуправильным многогранникам относятся и так называемые антипризмы с равными ребрами.

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется еще 13 полуправильных многогранников, называемых телами Архимеда
.

Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечений плоскостями углов многогранника. Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим
усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней . Из них четыре — правильные шестиугольники и четыре — правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три грани.

Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр и усеченный икосаэдр
.

Из куба и додекаэдра также можно получить
усеченный куб  и усеченный додекаэдр.

Для того чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих
из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, ко торый называется кубооктаэдром. Его гранями являются шестьквадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра.

Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести чере: середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник который называется икосододекаэдром. У него двадцать граней — правильные треугольники и двенадцать граней — правильные пяти угольники, т. е. все грани икосаэдра и додекаэдра.

К последним двум многогранникам снова можно применить операции
усечения. Получим усеченный кубооктаэдр и усеченный икосододекаэдр.

Ромбокубооктаэдр состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов.

Если повернуть верхнюю восьмиугольную чашу этого многогранника на 45°, то получится новый многогранник, который называется
псевдоархимедовым.

Ромбоикосододекаэдр состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. Плосконосый ( курносый) куб и плосконосый (курносый) додекаэдр состоят из  граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.

Итак, архимедовы тела:
Усеченный тетраэдр
ромбокубоктаэдр
усеченный куб

ромбоикосододекаэдр
усеченный октаэдр        
ромбоусеченный кубоктаэдр
усеченный додекаэдр
ромбоусеченный икосододекаэдр
усеченный икосаэдр  
курносый куб  
кубоктаэдр  
курносый додекаэдр

икосододекаэдр
псевдоромбокубоктаэдр

ромбокубооктаэдр

усечённый  икосододекаэдр

усечённый тетраэдр

ромбоикосододекаэдр

усечённый куб

Ромботриаконтаэдр

Триакисикосаэдр

Двойственные архимедовым телам, так называемые Каталановы тела, имеют конгруэнтные грани, равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками. В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел. Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

То есть, полуправильными в этом случае называются тела, у которых отсутствует только одно из первых двух из следующих свойств правильных тел:

  • Все грани являются правильными многоугольниками;

  • Все грани одинаковы;

  • Тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии.


Архимедовы — тела, у которых отсутствует второе свойство, у каталановых отсутствует первое, третье свойство сохраняется для обоих видов тел.

Существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и курносый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы. Соответственно, существует 13 каталановых тел
:

Ромбододекаэдр
Ромботриаконтаэдр
Триакистетраэдр
Тетракисгексаэдр
Пентакисдодекаэдр
Триакисоктаэдр
Триакисикосаэдр
Дельтоидальный икоситетраэдр
Дельтоидальный гексеконтаэдр
Пентагональный икоситетраэдр
Пентагональный гексеконтаэдр
Дисдакисдодекаэдр
Дисдакистриаконтаэдр

 
Назад к содержимому | Назад к главному меню