Формула Герона - геометрия и искусство

Перейти к контенту

Главное меню:

Формула Герона

Эта формула позволяет вычислить площадь треугольника по его сторонам а, b и с:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),
где р - полупериметр треугольника, т.е. р = (а + b + с)/2.
Формула названа в честь древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Герон рассматривал треугольники с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми числами. Такие треугольники называют героновыми. Например, это треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53.

Существуют аналоги формулы Герона для четырехугольников. В связи с тем, что задача  на построение четырехугольника по его сторонам а, Ь, с и d имеет не единственное решение, для вычисления в общем случае площади четырехугольника недостаточно только знания длин сторон. Приходится вводить дополнительные параметры или накладывать ограничения. Например, площадь вписанного  четырехугольника находится по формуле: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)

Если же четырехугольник и вписанный, и описанный одновременно, его площадь находится
по более простой формуле: S=√(abcd).


Герон Александрийский — греческий математик и механик.

Он первым изобрёл автоматические двери, автоматический театр кукол, автомат для продаж, скорострельный самозаряжающийся арбалет, паровую турбину, автоматические декорации, прибор для измерения протяжённости дорог (древний одометр) и др. Первым начал создавать программируемые устройства (вал со штырьками с намотанной на него верёвкой).

Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. Основные произведения: Метрика, Пневматика, Автоматопоэтика, Механика (произведение сохранилось целиком в арабском переводе), Катоптрика (наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. В 1814 году было найдено сочинение Герона «О диоптре», в котором изложены правила земельной съёмки, фактически основанные на использовании прямоугольных координат. Герон использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда, Стратона из Лампсака. Многие из его книг безвозвратно утеряны (свитки содержались в Александрийской библиотеке).

В трактате «Механика»  Герон описал пять типов простейших машин: рычаг, ворот, клин, винт и блок.


В трактате «Пневматика» Герон описал различные сифоны, хитроумно устроенные сосуды, автоматы, приводимые в движение сжатым воздухом или паром. Это эолипил, представлявший собой первую паровую турбину — шар, вращаемый силой струй водяного пара; автомат для открывания дверей, автомат для продажи «святой» воды, пожарный насос, водяной орган, механический театр марионеток.


В книге «О диоптре» описан диоптр — простейший прибор, применявшийся для геодезических работ. Герон излагает в своём трактате правила земельной съёмки, основанные на использовании прямоугольных координат.

В «Катоптрике» Герон обосновывает прямолинейность световых лучей бесконечно большой скоростью их распространения.  Герон рассматривает различные типы зеркал, особое внимание уделяя цилиндрическим зеркалам.


«Метрика» Герона и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике. Среди содержащихся в «Метрике» сведений:

  • Формулы для площадей правильных многоугольников.

  • Объёмы правильных многогранников, пирамиды, конуса, усечённого конуса, тора, шарового сегмента.

  • Формула Герона для расчёта площади треугольника по длинам его сторон (открытая Архимедом).

  • Правила численного решения квадратных уравнений.

  • Алгоритмы извлечения квадратных и кубических корней.


Книга Герона «Определения» представляет собой обширный свод геометрических определений, по большей части совпадающих с определениями «Начал» Евклида.

 
Назад к содержимому | Назад к главному меню