Преобразования - геометрия и искусство

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Геометрическое преобразование плоскости — взаимно-однозначное отображение этой  плоскости на себя. Наиболее важными  геометрическими преобразованиями являются  движения, т.е. преобразования, сохраняющие  расстояние. Иначе говоря, если  f-движение  плоскости, то для любых двух точек А  и  В этой  плоскости расстояние между точками f(A) и f(B) равно |АВ|.

Движения связаны с понятием равенства (конгруэнтности) фигур: две фигуры F и G плоскости α называются равными, если  существует движение этой плоскости,  переводящее первую фигуру во вторую. Фактически это определение использовал еще Евклид , называвший две фигуры  равными, если одну из них можно наложить на  другую так, чтобы они совпали всеми своими точками; под наложением здесь следует  понимать перекладывание фигуры как твердого целого (без изменения расстояний), т. е.  движение.

Примерами движений плоскости являются осевая и центральная симметрия,  параллельный перенос, поворот. Как пример,  напомним определение параллельного переноса. Пусть а-некоторый вектор плоскости α.  Геометрическое преобразование, переводящее  каждую точку А  в такую точку А', что АА' = а (рис. 1), называется параллельным переносом на вектор а. Параллельный перенос является движением: если точки А и В переходят в А' и В', т. е. АА' = а, ВВ'= а, то  А'В' = АВ, и потому | А'В' | = |АВ|.

Весьма существенна связь движений с ориентацией. На рис. 5 изображен  многоугольник F, на контуре которого задано  положительное направление обхода (против  часовой стрелки). При параллельном переносе получается многоугольник с тем же  направлением обхода, т.е. параллельный перенос  сохраняет направление обхода, или, как говорят, сохраняет ориентацию. Поворот ( в частности, центральная симметрия ) также сохраняет ориентацию (рис.6)

Другой пример движения, меняющего  ориентацию - скользящая симметрия, т.е.  композиция симметрии относительно некоторой  прямой L и параллельного переноса, вектор которого параллелен L (рис. 8).

Следующую по важности группу  геометрических преобразований плоскости составляют преобразования подобия. Наиболее простое из них - гомотетия. Напомним, что  гомотетией с центром О и коэффициентом к≠0  называется геометрическое преобразование,  которое произвольно взятую точку А переводит в такую точку А', что О А' = кОА (рис. 10).  

Гомотетия переводит каждую прямую в  параллельную ей прямую, каждую окружность  снова переводит в окружность. Гомотетия  сохраняет углы, а все длины увеличивает в |к|раз…

… гомотетия сохраняет форму (но не размеры) фигур; если, например, к > 1, то  фигура F', в которую переходит фигура F при гомотетии с центром О и коэффициентом к, представляет собой увеличенную копию  фигуры F (рис. 10), а если 0 < к < 1 - уменьшенную копию.
Поскольку при гомотетии все длины  изменяются в одинаковое число раз, отношение длин не меняется. На этом основаны  различные способы оценки расстояний.

Преобразование f плоскости α называется подобием с коэффициентом к > 0, если для любых точек А, В плоскости а расстояние  между точками f(A) и f(B) равно к·  |АВ|. Любое подобие (как и гомотетия- частный случай подобия) сохраняет углы, а также отношение длин, т.е. сохраняет форму фигур. Однако, в отличие от гомотетии, подобие может переводить прямую L в прямую L', не  параллельную ей.

На рис. 14 изображены два плана Р и Р1 одного и того же участка местности,  выполненные в разных масштабах и по-разному  лежащие на плоскости. Эти планы  представляют собой подобные, но не гомотетичные фигуры; например, прямая АВ и  соответствующая ей прямая А1В1 не параллельны.

Чтобы получить план Р1, исходя из плана Р, можно поступить так: сначала повернуть план Р, чтобы его стороны стали  параллельными сторонам плана Р1, а затем  применить гомотетию. Иначе говоря, план P1  подобный Р, получается из Р при помощи композиции движения (поворота) и  гомотетии.

Указанное обстоятельство является общим, т.е. всякое подобие д представляется в виде композиции h°f, где f -движение, a h-  гомотетия.

В заключение рассказа о преобразованиях подобия заметим, что они составляют группу преобразований и потому согласно Эрлангенской программе определяют «свою» геометрию. Инвариантами этой группы (т.е. теми свойствами, которые сохраняются при всех преобразованиях подобия и изучаются в геометрии подобий) являются угол, отношение длин двух отрезков,  параллельность двух прямых и т.д. Хотя длина  отрезка уже не сохраняется, но в силу  сохранения отношения длин в геометрии подобий можно говорить о равнобедренном  треугольнике (т.е. о треугольнике, в котором  отношение длин боковых сторон равно 1). Теорема о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, сохраняется и в геометрии подобий.

Однако не следует думать, что геометрия подобий ничем, кроме формы изложения, не отличается от евклидовой геометрии.  

Существуют факты, которые отличают эти две  геометрии. Например, условимся говорить, что линия L может скользить по себе, если для любых двух точек А, В этой линии найдется преобразование f(принадлежащее группе, задающей рассматриваемую геометрию),  которое переводит линию L в  себя, а точку А в В.

В геометрии Евклида (т. е. в геометрии,  определяемой группой движений плоскости)  существуют только два типа связных линий (т.е. состоящих из одного куска), которые могут скользить по себе: прямые и окружности. А в геометрии подобий существуют линии,  отличные от прямых и окружностей, которые могут скользить по себе; это -  логарифмические спирали, определяемые в полярных координатах (рис. 16).

Расскажем коротко и о других  преобразованиях, играющих важную роль в современной геометрии. Преобразование f евклидовой  плоскости называется аффинным, если оно  каждую прямую переводит снова в прямую, а параллельные между собой прямые-снова в параллельные (рис. 22).

Отметим, что длины и углы могут  изменяться при аффинных преобразованиях. Не  сохраняется (в отличие от преобразований подобия) и отношение длин отрезков. Однако  отношение длин двух параллельных отрезков  сохраняется при любом аффинном преобразовании.

В частности, середина отрезка переходит при аффинном преобразовании снова в середину отрезка, параллелограмм переходит в  параллелограмм, медиана треугольника в медиану и т. п. Круг при аффинном преобразовании переходит в эллипс, причем из отмеченных выше свойств аффинных преобразований  легко следует, что середины параллельных  между собой хорд эллипса лежат на одном  отрезке, проходящем через центр эллипса (рис. 23).

Все аффинные преобразования плоскости, вместе взятые, образуют группу  преобразований, и потому они  определяют некоторую геометрию. Она называется аффинной геометрией.

Все рассмотренные выше преобразования сохраняли прямолинейное расположение  точек (на евклидовой или на проективной  плоскости). Иначе говоря, система всех прямых линий на плоскости переводится снова в эту же систему линий. Существует интересный класс преобразований, который обладает  аналогичным свойством по отношению к другой системе линий. Именно: рассмотрим на  плоскости (евклидовой) систему, состоящую из всех прямых линий и всех окружностей.  Преобразования, которые эту систему линий переводят снова в эту же систему, называются круговыми преобразованиями. Иначе говоря, прямая переходит при круговом  преобразовании либо снова в прямую, либо в некоторую окружность (и то же справедливо для  окружности). Чуть ниже мы уточним одно  соглашение относительно евклидовой плоскости,  которое требуется при рассмотрении круговых преобразований, но вначале рассмотрим один важный пример кругового преобразования — так называемую инверсию.

Пусть задана некоторая точка О плоскости и некоторое положительное число R.  Геометрическое преобразование, которое каждую отличную от О точку А плоскости переводит в такую точку А' луча О А, что | О А | • |О А' | = R², называется инверсией с центром О и радиусом R (рис. 27).

Название «радиус»  инверсии объясняется тем, что каждая точка окружности с центром О и радиусом R,  очевидно, остается неподвижной при этом  преобразовании (т. е. переходит в себя). Точки,  лежащие внутри этой окружности (называемой окружностью инверсии), переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот. На этом  основании инверсию часто называют симметрией относительно окружности. Инверсия является круговым преобразованием: каждая прямая или окружность переходит снова в прямую или окружность (рис. 28).

Помимо того что инверсия переводит  систему всех прямых и окружностей снова в эту же систему, инверсия обладает еще рядом  замечательных свойств, делающих ее важным инструментом при решении ряда  геометрических задач. Основным из них является то, что инверсия сохраняет углы.

Вместе взятые, круговые преобразования составляют группу преобразований, которая определяет на  круговой плоскости своеобразную геометрию («круговую»).

Мы рассказали о наиболее важных  геометрических преобразованиях плоскости.  Можно рассматривать также геометрические  преобразования трехмерного пространства,  плоскости (или пространства) Лобачевского и других геометрических объектов.

Знакомство с геометрическими  преобразованиями и умение применять их является важным элементом математической  культуры.

Савин А.П. Энциклопедия юного математика , 1989