Калейдоскоп - геометрия и искусство

Калейдоско́п (от греч. καλός — красивый, εἶδος — вид, σκοπέω — смотрю, наблюдаю) — оптический прибор-игрушка, чаще всего в виде трубки, содержащей внутри три (иногда два или более трёх) продольных, сложенных под углом зеркальных стекла; при поворачивании трубки вокруг продольной оси цветные элементы, находящиеся между зеркалами, отражаются и создают меняющиеся симметричные узоры. Различное взаимное расположение зеркал позволяет получить разное количество дублированных изображений: 45° — 8, 60° — 6, 90° — 4.

Калейдоскоп не просто детская игрушка, он применяется в работах дизайнеров для создания новых рисунков тканей, обоев, в ковроткачестве. История калейдоскопа насчитывает почти 100 лет, и поначалу, это было развлечение для взрослых. Затем появились и калейдоскопы для детей.

КАЛЕЙДОСКОПЫ (ВИНБЕРГ Э.Б. , 1997), МАТЕМАТИКА

Принцип, лежащий в основе известной игрушки - калейдоскопа, играет важную роль во многих разделах математики. Отбрасывая в сторону возможность практической реализации, можно говорить о многомерных и неевклидовых калейдоскопах. Их изучение составляет яркую страницу геометрии, содержащую как удивительные результаты, так и нерешенные проблемы.

Калейдоскоп (что в переводе с греческого означает "смотрю красивый вид") - это детская игрушка, в которой разноцветные кусочки стекла, многократно отражаясь в трех зеркалах, создают красивый узор. Зеркала эти расположены как боковые грани правильной треугольной призмы, образуя между собой углы, равные p /3. Если бы эти углы были другими, то отражения накладывались бы друг на друга и не создавали симметричного узора. Однако имеются исключительные случаи, когда этого не происходит.

Описанный выше обычный калейдоскоп по существу двумерен, так как мы видим в нем плоский узор. Можно представить себе трехмерный калейдоскоп как многогранную камеру с зеркальными стенками. Наблюдатель, помещенный в нее, увидит многократные отражения всех находящихся в ней предметов. Как правило, эти отражения будут перекрываться, но есть несколько случаев, когда отражения не перекрываются и создают симметричный трехмерный узор.

Если отбросить в сторону возможность практической реализации, то можно говорить и о многомерных калейдоскопах, а также о неевклидовых калейдоскопах, а именно о калейдоскопах на сфере и в пространстве Лобачевского. Калейдоскопы в евклидовом пространстве и на сфере любой размерности были исчерпывающим образом описаны английским математиком Х.С.М. Кокстером в 1934 году. Сферические калейдоскопы тесно связаны с правильными многогранниками.

Калейдоскопы на плоскости Лобачевского использовались еще в конце прошлого века А. Пуанкаре и Ф. Клейном в их исследованиях по теории автоморфных функций комплексного переменного. В 1958-1960 годах голландский художник М.К. Эшер создал несколько оригинальных картин-узоров на базе этих калейдоскопов.

Калейдоскопы в пространстве Лобачевского стали объектом интенсивных исследований начиная с 1965 года в связи с некоторыми проблемами теории групп. Их полное описание в любой размерности еще далеко от завершения. Имеется удивительный результат (принадлежащий автору статьи) о том, что при n $ 30 в n-мерном пространстве Лобачевского вообще не существует калейдоскопов. Примеры таких калейдоскопов известны лишь при n # 8.

Помимо уже упоминавшихся приложений калейдоскопов в геометрии (правильные многогранники), теории функций комплексного переменного и теории групп имеются не менее важные их приложения в теории чисел, теории алгебр Ли, алгебраической геометрии и других разделах математики. Следует, впрочем, сказать, что в серьезной математической литературе термин "калейдоскоп" не употребляется. Вместо этого говорят "дискретная группа, порожденная отражениями".

... изучение калейдоскопов самих по себе составляет яркую страницу геометрии.