Евклидова геометрия - геометрия и искусство

Перейти к контенту

Главное меню:

Евклидова геометрия

Евклидова геометрия — это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, которая была впервые изложена в третьем веке до нашей эры великим древнегреческим математиком Евклидом в грандиозном научном труде «Начала».

Система аксиом Евклида базируется на основных геометрические понятиях таких, как точка, прямая, плоскость, движение, а также на следующие отношения: «точка лежит на прямой на плоскости», «точка лежит между двумя другими».

В «Началах» Евклид представил следующую аксиоматику:

  • От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

  • Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

  • Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

  • Все прямые углы равны между собой.

  • Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.


Тщательное изучение аксиоматики Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту. В 1899 году Д. Гилберт предложил первую строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Впоследствии еще не раз ученые предпринимали попытки усовершенствовать аксиоматику евклидовой геометрии. Кроме аксиоматики Гилберта, известными считаются: аксиоматики Тарского и аксиоматики Биргофа, которая состоит всего лишь из 4 аксиом.

В современной трактовке система аксиом Евклида может быть разделена на пять групп:

Аксиомы сочетания.

  • Во-первых, через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну.

  • Во-вторых, на каждой прямой лежат по крайней мере две точки. При этом существуют хотя бы три точки, которые не лежат на одной прямой.

  • В-третьих, через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.

  • В-четвертых, на каждой плоскости есть по крайней мере три точки, а также существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

  • В-пятых, если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, значит и сама прямая лежит на этой плоскости.

  • В-шестых, если две плоскости имеют общую точку, то, следовательно они имеют и общую прямую.

Кстати, Омар Хайям в девятом веке заметил, что Евклид в своих сочинениях доказал многое из того, что не нуждалось в доказательстве. Так появились аксиомы.


Аксиомы порядка.

  • Во-первых, если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой.

  • Во-вторых, для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С.

  • В-третьих, из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими.

  • В-четвертых, если прямая пересекает одну сторону треугольника, значит она пересекает при этом и другую его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; аналогично определяются стороны треугольника).


Аксиомы движения.

  • Во-первых, движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям.

  • Во-вторых, два последовательных движения вновь дают движение, и для всякого движения есть обратное.

  • В-третьих, если даны точки А, A’ и полуплоскости A, A‘, ограниченные продолженными полупрямыми а, а’, которые исходят из точек А, A’, то существует единственное движение, переводящее А, а, A в A’, a’, A’ (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).


Аксиомы непрерывности.

  • Во-первых, как гласит аксиома Архимеда, всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая на первом его достаточное количество раз (откладывание отрезка осуществляется движением).

  • Во-вторых, согласно аксиоме Кантора: если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.


Аксиома параллельности Евклида: через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.

Евклидова геометрия стала результатом систематизации и обобщения наглядных представлений человека об окружающем мире.

 
Назад к содержимому | Назад к главному меню